Reference-Network Topology & Consensus Value

R-019 — 기준망 위상과 합의 기준값

기준망 합의 기준값은 여러 독립 계보·기관·전이표준의 측정 결과와 상관관계를 하나의 측정모형으로 결합하되, 기준망의 연결성·공통 의존성·비일관성·이상치가 허용 범위를 넘으면 단일값을 강제로 만들지 않고 판정보류 또는 복수 잠정 기준값을 출력하는 체계다.

서로 다른 상위 기준기, 재료, 마나원과 알고리즘에 연결된 기관들의 MEU 실현값이 서로 다를 때 어떤 값을 공동 기준으로 채택할 것인가? 또한 정밀도가 높다고 주장하는 하나의 계보가 합의값을 독점하거나, 약한 연결 하나가 지역 전체 기준을 지탱하는 문제를 어떻게 탐지할 것인가?

국제 핵심비교의 기준값은 측정 분야와 자료 구조에 따라 가중평균, 중앙값, 가중치 상한, 이상치 처리, Mandel–Paule형 분산 확장, 연결방정식의 최소제곱 조정 등 서로 다른 방식으로 산출된다. 따라서 Mathmagica에서도 모든 비교에 단일 평균법을 강제하지 않는다.

BIPM KCDB의 2024 kg 실현 핵심비교는 참여 결과의 가중평균을 기준값으로 사용하고 각 기관의 기준값 대비 편차와 불확도를 제시한다. 다른 BIPM 비교에서는 중앙값, 가중치 20% 상한, 가중 최소제곱 또는 연결방정식 조정도 사용한다. NIST는 여러 측정 결과의 결합값이 기여 결과와 계측학적으로 양립할 필요가 있으며, 비교 불확도가 크면 겉으로 합격처럼 보여도 판정보류가 필요할 수 있다고 설명한다.

현실의 핵심비교·합의값·최소제곱 방법과 Mathmagica의 MEU 기준망은 구분해 사용한다.

동일한 측정량을 직접 평가한 n개 결과를 벡터 x, 공분산 행렬 V로 둔다. 공통 기준값의 일반화 최소제곱 추정치는

x_R = (1ᵀV⁻¹x)/(1ᵀV⁻¹1)

u_R² = 1/(1ᵀV⁻¹1)

로 둔다.

V의 대각성분은 각 결과의 분산이고, 비대각성분은 동일 상위 기준기·재료·환경 센서·마나원·알고리즘에서 발생한 공통 불확도를 나타낸다. 공유 계보가 있는데 V를 대각행렬로 처리하면 같은 정보가 여러 번 독립적으로 들어온 것처럼 계산되어 합의 불확도가 과소평가될 수 있다.

기관 i의 합의 기준값 대비 편차는

D_i = x_i − x_R

이며 상관을 포함한 불확도는

u²(D_i)=V_ii+u_R²−2Cov(x_i,x_R)

로 계산한다. x_i가 기준값 계산에 참여했는지에 따라 단순한 제곱합·제곱차 공식을 무조건 적용하지 않는다.

기관·기준기·전이표준을 노드 V_G, 비교를 간선 E_G로 둔다. 간선 e가 노드 i와 j의 차이를 측정하면

d_e = θ_j − θ_i + ε_e

전체 비교는

d = Bθ + ε, ε ~ (0, Σ)

로 표현한다. B는 방향을 가진 노드-간선 발생행렬이고 Σ는 비교 불확도와 간선 사이 상관을 포함한 공분산 행렬이다.

일반화 최소제곱 추정은

θ_hat = argmin (d−Bθ)ᵀΣ⁻¹(d−Bθ)

이며 정상행렬은

L = BᵀΣ⁻¹B

이다. L은 불확도 가중 그래프 라플라시안에 해당한다.

차이 측정만 있는 연결망에서는 모든 θ_i에 동일 상수 c를 더해도 d가 변하지 않는다. 따라서 절대 기준은 자동으로 정해지지 않는다.

다음 중 하나의 앵커 조건이 필요하다.

외부 E₀ 실현 노드 θ_anchor=0

독립 1차 기준기 집합의 가중 평균 Σa_iθ_i=0

공식적으로 합의된 MCRV를 기준 원점으로 사용하는 제약

앵커가 없으면 상대 편향만 보고하고 절대 MEU 기준값은 ‘식별 불가능’으로 표시한다. 서로 분리된 연결성분이 둘 이상이면 각 성분마다 별도 기준값만 계산할 수 있으며 전체 합의는 금지한다.

간선 영향도 h_e의 초기식:

h_e = w_e b_eᵀL⁺b_e

L⁺는 라플라시안 의사역행렬이다. h_e가 큰 간선은 전체 합의값과 원거리 노드 불확도에 강한 영향을 주는 핵심 비교 경로다.

가중치 집중도:

HHI_w = Σp_i², p_i=w_i/Σw_i

특정 기관이나 계보의 가중치가 과도하게 집중되면 정밀도가 높아도 지배 위험을 표시한다. 동일 의존성 군의 노드들은 먼저 하나의 계보 정보량으로 축약하거나 공분산으로 묶는다.

직접 합의 모형의 잔차는 r=x−1x_R이고

χ² = rᵀV⁻¹r

자유도 ν=n−1에서 Birge형 비율은

R_B = sqrt(χ²/ν)

로 둔다. 비교망에서는 잔차 r=d−Bθ_hat와 유효 자유도 ν=m−rank(B_constrained)를 사용한다.

R_B가 1보다 크다는 사실만으로 특정 기관을 삭제하지 않는다. 공분산 누락, 계보 간 추가 분산, 전이표준 불안정, 환경주기, 실제 기준 차이와 이상치를 순서대로 조사한다.

초기 유효 가중치는

w_i* = (I_ind,i · q_i)/(u_i²+τ_lineage(i)²)

로 둔다.

정규화 후 한 노드 또는 한 계보의 총 가중치가 p_max를 넘으면 초과분을 제한하고 민감도 결과를 함께 보고한다. p_max는 공식값이 아니라 장비 등급별 실험으로 확정할 정책계수다.

서로 다른 두 계보에 속한 6개 가상 기준기의 직접 실현값을 사용했다.

상관을 무시한 역분산 가중평균:

x_R = 100.408 MEU, u_R = 0.088 MEU, R_B = 1.85

공분산을 반영한 GLS:

x_R = 100.431 MEU, u_R = 0.132 MEU, R_B = 1.39

계보별 GLS:

MCRV-A = 100.026 ± 0.191 MEU

MCRV-B = 100.757 ± 0.173 MEU

공분산을 반영하면 합의 불확도가 커지고 비일관성 평가도 달라졌다. 두 계보의 분리가 지속될 경우 전체 평균만 공식값으로 발표하지 않고 계보 분열 등급을 검토한다. 모든 수치는 계산 구조 검증용 가상값이다.

6개 노드를 두 개의 정밀한 내부 군집으로 구성하고, 군집 사이에는 표준불확도 0.40 MEU의 비교 하나만 배치했다.

약한 단일 교량 구조:

λ₂(L)=4.03

앵커 반대편 노드의 최대 표준불확도≈0.420 MEU

서로 다른 경로의 두 번째 독립 비교를 추가한 구조:

λ₂(L)=19.36

최대 표준불확도≈0.211 MEU

기관을 추가하지 않고 독립 연결 하나를 더한 것만으로 원거리 불확도가 약 절반으로 줄었다. 수치는 선택한 가상 간선 불확도에 의존하며 보편 상수는 아니다.

T-004 왕복 비교 결과를 간선으로 변환하고 운송·시간 드리프트 공분산을 Σ에 포함한다.

R-016에서 같은 의존성 군으로 판정된 간선·노드는 독립 가중치로 중복 계산하지 않는다.

R-018 잔차 모형이 부적합한 비교값은 공식 합의 입력에서 제외하지 않고 ‘판정보류 입력’으로 분리한다.

연결망이 단절되거나 λ₂가 최소 기준보다 낮으면 교정 유효기간 자동 연장을 금지한다.

합의방법, 공분산 행렬, 제외·감쇠 근거와 민감도 결과를 버전별로 저장한다.

가장 작은 불확도를 주장한 기관이 사실상 전체 기준값을 독점

같은 상위 기준기에 연결된 기관들을 독립 표본으로 중복 계산

상관을 무시해 u_R을 과소평가

약한 교량 간선 하나의 오류가 지역 전체 기준을 이동

이상치를 제거한 뒤 제거 전 결과를 숨김

모형이 맞지 않는데 평균값만 공식 발표

연결되지 않은 기준망에 단일 절대값 부여

합의값과 진실값을 동일시

모든 공식 결과는 합의값, 표준불확도, 사용 모형, 상관 구조, 유효 참여 계보 수, 일관성 통계량, 위상 지표, 민감도 범위와 판정 등급을 함께 보고한다.

국가 MEU 기준 조정, 도시 마나망 요금 기준 통합, 의료기관 치유량계의 지역 간 상호인정, 군 병기 시험소의 공동 출력 표준, 마석 거래소의 가격 기준 연결, 법의학 기관의 증거 계측 상호인정에 적용한다.

한 국가의 기준기관이 지나치게 정밀하다는 이유로 세계 MEU 단위를 사실상 지배하는 정치 갈등, 두 대륙의 기준 계보가 각각 내부적으로 완벽하지만 서로 0.7 MEU 어긋난 사건, 전쟁으로 유일한 교량 전이표준 경로가 끊겨 국제 거래가 중단되는 상황, 합의값을 조작하기 위해 독립 기관처럼 위장한 동일 계보 장비를 대량 투입하는 사건에 활용할 수 있다.

① 장비 등급별 λ₂ 최소 기준과 간선 영향도 경보값을 정한다.

② τ² 추정법과 견고 합의법의 탐지·편향 성능을 비교한다.

③ 기준망 시간변화를 동적 그래프로 확장한다.

④ T-006 기준망 합의·위상 진단 엔진을 설계한다.

⑤ Consensus_Network 시트에 노드·간선·공분산·합의 민감도를 연결한다.

⑥ R-021 합의값 견고성·악의적 기준 조작 연구를 등록한다.

⑦ W-010 합의 기준값과 C-012 기준기관이 많을수록 더 정확할까를 기획한다.

2026-07-29 / AI 조사·내부 계산 초안 / 공분산 가중 GLS, 비교망 라플라시안, 기준 자유도, 연결성·가중치 집중·비일관성·복수 합의 정책 확립 / 실험적 가설 유지.

BIPM KCDB, CCM.M-K8.2024, results published 2026-01-26.

NIST, Combining Results from Multiple Evaluations of the Same Measurand.

NIST, Evaluating Inter-Laboratory Comparison Data.

NIST, Metrological Traceability: Frequently Asked Questions and NIST Policy.

BIPM KCDB examples using weighted means, medians, weight caps and linked least-squares adjustments.

현실의 합의값·핵심비교·일반화 최소제곱 원리와 Mathmagica의 MEU 기준망 모델은 구분해 사용한다.